向量是中学教材新增加的内容，它宛如高中知识百花园中一朵艳丽、骄人的小花，令人赏心悦目，更似一壶可口香茗，醇香袭人，耐人寻味。

向量是数学中的重要概念，广泛应用于生产实践和科学研究中。向量知识体系优美，思路明快又富有创意，运算简洁，与其它数学知识自然地融为一体，如可用向量处理立体几何与解析几何问题，因此向量日益受到中学考试命题者的青睐，向量的交汇型试题在近几年各级各类考试中频繁出现。本文从七个方面论述向量对高中数学主干知识的渗透。

1 、向量与集合

例 1 、已知向量集合 , 则 等于（　　）。

A. B. C. D.

分析　本题考查向量的坐标与集合的运算，对于集合的运算关键是理解集合研究的对象即元素是什么。

解：由 得 　解得

故集合 与 的公共元素只有向量 一个，所以选 C 。

2 、向量与函数

例 2 、已知向量 在区间（－ 1 ， 1 ）上是增函数，

求 t 的取值范围。

分析　本题主要考查了平面向量数量积的计算方法，利用导数研究函数的单调性，以及用基本函

数的性质分析和解决问题的能力。

解：依定义

开口向上的抛物线，

故要使 在区间（－ 1 ， 1 ）上恒成立

故 的取值范围是

3 、向量与数列

例 3 、已知一列非零向量 满足 ， 。（Ⅰ）证明： 是等比数列；（Ⅱ）求向量 与 的夹角 。

分析　本题以向量为载体，主要考查了等比数列的定义、平面向量的数量积的计算方法以及向量的夹角公式。

解：（Ⅰ）

，所以 ， 是等比数列。

（Ⅱ）

，所以向量 与 的夹角是 。

4 、向量与三角

例 4 、已知 是三角形 三内角，向量 ，且 。

（Ⅰ）求角 A ；（Ⅱ）若

分析　本题以向量为载体，主要考察了三角中的求值问题，注意两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式的运用。

解：（ Ⅰ）∵ ∴ 即

,

∵ ∴ ∴

（Ⅱ）由题设条件知 ，整理得

∴ ∴ 　∴ 或

又∵ 使 ，舍去 ∴

∴

5 、向量与不等式

例 5 、在 中， O 为中线 AM 上一个动点，若 AM=2 ，则 的最小值是 __________ 。

分析　本题以向量为背景考查不等式的应用。

解：因为

又 ，

当且仅当 时等号成立， 的最小值是－ 2 。

6 、向量与解析几何

例 6 、已知椭圆的中心为坐标原点 O ，焦点在 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭

圆于 A 、 B 两点， 与 共线。求椭圆的离心率。

分析　本题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力。

解：设椭圆方程为 则直线 AB 的方程为

化简得 .

　令 则

共线，

得

7 、向量与立体几何

例 7 、如图，在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， AB ＝ BC ， D 、 E 分别为 BB 1 、 AC 1 的中点．

（Ⅰ）证明： ED 为异面直线 BB 1 与 AC 1 的公垂线；

（Ⅱ）设 AA 1 ＝ AC ＝ AB ，求二面角 A 1 － AD － C 1 的大小．

分析　本题考查立体几何中对公垂线段的理解及二面角的求法，引进空间

向量后把几何问题转化为代数运算，简洁明快，体现了向量这一工具的重要性。

解：如图，建立直角坐标系 O － xyz ，其中原点 O 为 AC 的中点．

设 A ( a ， 0 ， 0) ， B (0 ， b ， 0) ， B 1 (0 ， b ， 2 c ) ．

则 C ( － a ， 0 ， 0) ， C 1 ( － a ， 0 ， 2 c ) ， E (0 ， 0 ， c ) ， D (0 ， b ， c ) ．

＝（ 0 ， b ， 0 ）， ＝ (0 ， 0 ， 2 c ) ． · ＝ 0 ，∴ ED ⊥ BB 1 ．

又 ＝ ( － 2 a ， 0 ， 2 c ) ， · ＝ 0 ，∴ ED ⊥ AC 1 ，

所以 ED 是异面直线 BB 1 与 AC 1 的公垂线．

（Ⅱ）不妨设 A (1 ， 0 ， 0) ，则 B (0 ， 1 ， 0) ， C ( － 1 ， 0 ， 0) ， A 1 (1 ， 0 ， 2) ，

＝ ( － 1 ，－ 1 ， 0) ， ＝ ( － 1 ， 1 ， 0) ， ＝ (0 ， 0 ， 2) ，

· ＝ 0 ， · ＝ 0 ，即 BC ⊥ AB ， BC ⊥ AA 1 ，又 AB ∩ AA 1 ＝ A ，

∴ BC ⊥平面 A 1 A D ．

又　　 E (0 ， 0 ， 1) ， D (0 ， 1 ， 1) ， C ( － 1 ， 0 ， 1) ，

＝ ( － 1 ， 0 ，－ 1) ， ＝ ( － 1 ， 0 ， 1) ， ＝ (0 ， 1 ， 0) ，

· ＝ 0 ， · ＝ 0 ，即 EC ⊥ AE ， E C ⊥ ED ，又 AE ∩ ED ＝ E ，

∴　 EC ⊥面 C 1 A D ．　 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ，即得 和 的夹角为 60 ° ．

所以二面角 A 1 － AD － C 1 为 60 ° ．

当然，向量不仅仅渗透在中学的数学知识上，而且还渗透在中学物理上。向量在中学教材的引

入，有利于加强高中数学主干知识间的纵横向联系，也有利于培养学生的理性思维。