这几年福建数学高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学的头脑和眼光。

针对数学高考试题的几种常见、常用的数学方法，归纳了三种常见方法如下：

一、换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式： 4 ＋ 2 － 2 ≥ 0 ，先变形为设 2 ＝ t （ t>0 ），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数 y ＝ ＋ 的值域时，易发现 x ∈ [0,1] ，设 x ＝ sin α ，α∈ [0, ] ，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量 x 、 y 适合条件 x ＋ y ＝ r （ r>0 ）时，则可作三角代换 x ＝ rcos θ、 y ＝ rsin θ化为三角问题。均值换元，如遇到 x ＋ y ＝ S 形式时，设 x ＝ ＋ t ， y ＝ － t 等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的 t>0 和α∈ [0, ] 。

示范性题：

例 1. 实数 x 、 y 满足 4x － 5xy ＋ 4y ＝ 5 （ ①式） ，设 S ＝ x ＋ y ，求 ＋ 的值。（ 93 年全国高中数学联赛题）

【分析】 由 S ＝ x ＋ y 联想到 cos α＋ sin α＝ 1, 于是进行三角换元，设 代入①式求 S 和 S 的值。

【解】设 代入①式得： 4S － 5S · sin α cos α＝ 5

解得 S ＝ ；

∵ -1 ≤ sin2 α≤ 1 ∴ 3 ≤ 8 － 5sin2 α≤ 13 ∴ ≤ ≤

∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝

此种解法后面求 S 最大值和最小值，还可由 sin2 α＝ 的有界性而求，即解不等式： | | ≤ 1 。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。

【另解】 由 S ＝ x ＋ y ，设 x ＝ ＋ t ， y ＝ － t ， t ∈ [ － ， ] ，

则 xy ＝± 代入①式得： 4S ± 5 =5 ，

移项平方整理得 100t +39S － 160S ＋ 100 ＝ 0 。

∴ 39S － 160S ＋ 100 ≤ 0 解得： ≤ S ≤

∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝

【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件 S ＝ x ＋ y 与三角公式 cos α＋ sin α＝ 1 的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式 S ＝ x ＋ y 而按照均值换元的思路，设 x ＝ ＋ t 、 y ＝ － t ，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量 x 、 y 时，可以设 x ＝ a ＋ b ， y ＝ a － b ，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设 x ＝ a ＋ b ， y ＝ a － b ，代入①式整理得 3a ＋ 13b ＝ 5 ，求得 a ∈ [0, ] ，所以 S ＝ (a － b) ＋ (a ＋ b) ＝ 2(a ＋ b ) ＝ ＋ a ，∴ S ∈ [ , ] ，再求 ＋ 的值。

二、待定系数法

要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式 f(x) g(x) 的充要条件是：对于一个任意的 a 值，都有 f(a) g(a) ；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：

第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；

第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。

如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：

•  利用对应系数相等列方程；

•  由恒等的概念用数值代入法列方程；

•  利用定义本身的属性列方程；

•  利用几何条件列方程。

示范性题：

例 2. 设椭圆中心在 (2,-1) ，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是 － ，求椭圆的方程。

y B' x A F O' F' A' B

【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据 a 、 b 、 c 之值，问题就全部解决了。设 a 、 b 、 c 后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为 a － c 的值后列出第二个方程。

【解】 设椭圆长轴 2a 、短轴 2b 、焦距 2c ，则 |BF'| ＝ a

∴ 解得：

∴ 所求椭圆方程是： ＋ ＝ 1

也可有垂直关系推证出等腰 Rt △ BB'F' 后，由其性质推证出等腰 Rt △ B'O'F' ，再进行如下列式： ，更容易求出 a 、 b 的值。

【注】 圆锥曲线中，参数（ a 、 b 、 c 、 e 、 p ）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（ a 、 b 、 c 、 e 、 p ）不变，本题就利用了这一特征，列出关于 a － c 的等式。

一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。

三、定义法

所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。

示范性题：

例 3. 求过定点 M(1,2) ，以 x 轴为准线，离心率为 的椭圆的下顶点的轨迹方程。

【分析】运动的椭圆过定点 M ，准线固定为 x 轴，所以 M 到准线距离为 2 。抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到 ＝ 建立一个方程，再由离心率的定义建立一个方程。

【解】设 A(x,y) 、 F(x,m) ，由 M(1,2) ，则椭圆上定点 M 到准线距离为 2 ，下顶点 A 到准线距离为 y 。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到：

，消 m 得：（ x － 1 ） ＋ ＝ 1 ，

所以椭圆下顶点的轨迹方程为（ x － 1 ） ＋ ＝ 1 。

【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到。本题还引入了一个参数 m, 列出的是所满足的方程组，消去参数 m 就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程。在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。

学习数学需要通过复习来循序渐进地提高自己的数学能力。有的同学简单地把复习理解为做大量的题目，也有的同学认为复习就是记忆、背诵课本中的有关概念、定理、公式等。可见，许多同学对复习的认识还存在误区：没有真正认识到数学学科的特点，在复习方法上没有和其他学科区别开来。在学习中应该指导有意识的指导学生，培养学生的解题思维，鼓励学生自己总结、归纳题目类型，分类题目的解题方法。