新课程标准要求学生自主探索，在数学的教学中，需要营造一种生动活泼，宽松自由的人文氛围。开拓学生的视野 , 激发学生的思维 . 由于学生存在个体的差异 , 在具体的教学中要充分考虑到不同层次的学生 , 即要关注弱势群体 , 又要有利于开启优生的思维发展。因此需要从低起点的课题入手，进行不断的延伸，拓展。下面本文通过一道解几题的延伸教学，谈谈本人的认识。

例：已知抛物线方程 : 直线 AB 交抛物线于 A B , 且 , 求证 : 直线 AB 过定点

分析：这是个很常规的低起点的题目 , 又涉及直线与圆锥曲线的通解通法 .

设直线 AB 的方程 （ 显然存在）

由 得

由韦达定理得 .

直线 AB 过定点 (0,1)

这个很普通的题目 , 学生都能接受 , 题目虽简单 , 但又涉及直线与圆锥曲线的通解通法且易于延伸，拓展。

[ 拓展一 ] ：已知抛物线方程 : 直线 AB 交抛物线于 A B O 为原点 , 且 , 求证 : 直线 AB 过定点。

分析：这题与例题的差别在于条件变一点 ,

由

化归于例题 , 学生在解完例题

在做这个题目就有种轻车熟路的感觉 ,

从而培养学生思维的深刻性以及求同存异性

[ 拓展二 ] ：已知抛物线方程 : 直线 AB 交抛物线于 A B , 直线 与抛物线切于 A 点 , 直线 与抛物线切于 B 点且直线 . 求证 : 直线 AB 过定点。

分析：本题做为让学生自由讨论 ,

思考解答 . 学生有上面的铺垫 , 气氛非常活跃 ,

出现多种解法 , 限于篇幅 , 本文只介绍其中的常规解法 .

由 , 设直线 的斜率为 , 直线 的斜率为

( , 显然存在且都不为 0), 由

= = 由 =

又化归于例题 , 做完这个题目 , 可以继续引伸 , 设第二问，第三问，如求： , 交点的轨迹等等，从而达到散发学生的思维，激发其学习乐趣。

 

[ 拓展三 ] ：已知抛物线方程 : 定直线 : ，从 上任取一点 P 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ， B 。求证：直线 AB 过定点

分析：易知 的方程为 ，

的方程为 ，由 P 是直线 与 直线

交点设 P

由直线 AB 过 与 所以直线 AB 的方程为

即： 所以直线 AB 恒过 (0,1) 。

通过对例题的延伸让学生从不同的角度 , 不同的情形， 不同的背景重新认识有助于培养学生的探究精神与创新意识。

[ 拓展四 ] ： 已知抛物线方程： 直线 AB 交抛物线于 A B 。抛物线上的一个

定点 P( （不同 A ， B ）满足 。求证：直线 AB 过定点 .

分析：这是拓展一的一般情况 ,

由 。得

设直线 AB 的方程

直线 AB 恒过定点

[ 拓展五 ] : 已知抛物线 ，定直线 : 与抛物线相离 , 从 上任取一点 P 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ， B 。求证：直线 AB 过定点

分析：这是 [ 拓展三 ] 的一般情况，

设 A ， B ， P

则直线 PA 的方程为： ，

直线 PB 的方程为：

直线 AB 的方程： 由 P 在 上

由直线与抛物线相离，所以 。

直线 AB 的方程： 直线恒过

[ 拓展六 ] ：已知：椭圆 ，直线 与椭圆相离，过直线 上任一点 P ，引椭圆的两条切线，切点分别为 A ， B 。求证：直线 AB 过定点

分析：这拓展到椭圆，其证明方法与上面类似。

A ， B ， P

则直线 PA 的方程为： ，直线 PB 的方程为：

直线 AB 的方程： 由 P 在 上

（ 显然不为零） 直线 AB 过定点

[ 拓展七 ] ：已知双曲线方程 ，直线 与双曲线相离（ 非渐进线），过直线 上一点 P （不在渐进线上），引双曲线的两条切线，切点分别为 A ， B 。求证：直线 AB 过定点

分析： A ， B ， P

则直线 PA 的方程为： ，直线 PB 的方程为：

直线 AB 的方程： 由 P 在 上

直线 AB 过定点

在具体延伸拓展过程中 , 应当让学生充分参与 . 师生密切交流互动让学生感受到学习的乐趣 , 使他们在学习中不知不觉的得到提高 , 在学习完这几个延伸题目后 , 让学生自己探究如果把题设与结论互换 , 命题是否还成立 , 几个问题在课堂教学中都只有一个问课后让学生自己添加第二问第三问等等 , 再自己解决问题 .

 

以上通过一个例题的七种变形 , 让学生在学习直线与抛物线的关系中过定点问题 , 举一反三 , 触类旁通 , 培养学生分析问题与解决问题能力 , 在具体的教学实践中 , 注重问题的情景 , 鼓励学生交流 , 探究 . 在解决问题中循序渐进 , 强调分析问题的过程 , 让学生去尝试 , 引导学生在解决完问题 , , 进行反思 , 归纳总结 , 从感性认识上升到理性认识