创新即创造新的东西，它是一切事物发展的根本动力，是事物内部新的进步因素通过矛盾斗争战胜旧的落后因素，最终发展成为新事物的过程。 更具体地说，创新是创造与革新的合称。它具有：新颖性 ( 即不墨守陈规，前所未有 ) 、独特性 ( 即不同凡俗、独出心裁 ) 、价值性 ( 即对社会或个人的价值大小进步意义 ) 。综合起来最根本的特征就是一个 " 新 " 字，没有 " 新意 " ，也就无所谓创新。创新能力在数学教学中主要表现对已解决问题寻求新的解法。

创新教育已成为当今教育教学改革研究和实验的一个重要课题。教育是知识创新，传播和应用的主要基地，也是培养创新精神和创新人才的摇篮。就学校教育而言，数学教育是创新教育的主阵地之一，因此在数学教学中开展创新教育的实验具有重要意义。 在数学教学中，从哪些方面做起来培养学生的创造性思维能力呢？

一、 提高学生数学思维的积极性和主动性，自觉培养创造性思维意识．

要根据具体的教学内容充分发挥学生问题的解决能力，知识的概括能力，论理的严谨能力．鼓励学生既要注重基础知识的学习，又要重视知识范围的拓广．自觉地启发学生多提问题，提问题是思维的结果，也许是创新的开始，不给学生立下很多规矩．学生在学习过程中常常会提出许多不同的看法或新见解，往往蕴藏着智慧的萌芽，哪怕只有一点点新意，也应当充分肯定和大力鼓励．例如在中学代数教学中关于方程问题的解决，从初一的教材中特殊的一元一次方程的解法到一元一次方程的解法，进而学习二次、高次方程的解法，代数问题的解决到几何问题的论证，最后拓广到各类题型的综合或变异解决．不但教育学生掌握基本的数学知识和解题方法，还要引导学生善于总结和应用知识，利用已掌握的知识，积极探索各类方程问题解决方法中的内在联系，“创立”有关方程及方程组的一般性理论，使之产生学习的“内驱力”，主动形成创造性的思维意识．

二、 在数学学习中，培养学生数学思维的灵活性．

数学是思维的体操，数学思维的灵活性在数学学习中就是能应用灵活、多向和跨越性的思维方式解决问题，在数学学习中，学生思维的灵活性主要表现在随着新条件而迅速确定解题方向，或者随着条件变化而有的放矢地转化解题方法，也表现在随着新知识的掌握和经验的积累，而重新安排已学会的知识的能力上，表现在从已知数学关系中看出新的数学关系，从隐蔽的形式中分清实质的能力上．正因为如此，爱因斯坦把思维的灵活性看成是创造性的典型特点．

例如：已知：平面上两点 A （－ 1,0 ） ,B(1,0),P 为圆 x 2 ＋ y 2 － 6x － 6y ＋ 16 ＝ 0 上的一点，试求当 AP 2 ＋ BP 2 最小时的 P 点坐标．

对于本题，如用代数法来解，往往由于繁杂而解不下去，此时，有学生用平面几何的中线定理来解，既简捷，又准确．方法如下：由已知圆的方程 (x － 3) 2 ＋ (y － 3) 2 ＝ 2, 得圆心 C （ 3 ， 3 ），又由题意知 OP 为Δ APB 的中线，所以 AP 2 ＋ BP 2 ＝ 2 （ OP 2 ＋ 1 ），显然，欲使 AP 2 ＋ BP 2 最小，只需 OP 最小，这样不难由直线 OP 的方程 y ＝ x 与圆方程联立，解得所求的 P 点坐标为（ 2 ， 2 ）．

通过这一问题的解决，引导学生懂得在数学问题的解决中，不但要具备良好的知识水平、丰富的学习经验，还必需具备较高的解题技巧和灵活的思维方法．

三、 在数学学习中，培养学生思维的独创性．

培养学生思维的独创性，就是表现为数学思维的主动性和深刻性；表现为用非一般的方法解决问题；表现为能洞察所研究的每一事实的实质及这些事实之间的相互关系；能从所研究的材料中揭示被掩盖着的某些个别特殊情况；能组合各种具体模式．在中学，思维的独创性更多地表现在发现矛盾以后，把知识融会贯通，以进攻的姿态，突破矛盾，最终解决问题．

例如求证：

分析：该题纯从三角去考虑，是较繁琐的． 如果想到单位圆上的点 A k ( ), 而点 A k 又对应着向量 OA k ， 那么，欲证命题成立，只须证 即可，又向量 OA k 可设为力 ，进而想到大小一样，终端分布在正 n 边形的 n 个顶点上的共点于正 n 边形中心的力系，其合力为零．故 成立．

本题用物理方法来解决数学问题，不仅解法新颖，具有创新性，而且强化了各科之间的相互联系，互相渗透，为培养思维创新性的优良品质提供了极佳的锻炼机会．

四、在数学学习中，培养学生数学思维的综合性．

数学思维的综合性，就是指在数学学习中，利用已掌握的数学知识进行综合分析问题和解决问题的思维能力．在中学数学学习中，由于各分科的知识是相互联系，相互利用，相互交错的，因此数学知识的动用必然是综合的．在数学教学中，培养学生综合运用知识的逻辑思维能力，既是数学学科本身的需要，也是学生更好地应用数学知识的需要．

在中学数学教学中，培养学生综合性的思维能力，其主要方面就是能综合应用知识解决数学问题．例如：

已知：Δ ABC 的三边为 a,b,c, 重心为 H ，且 AH ＝ p ， BH ＝ q ， CH ＝ r ．

求证： aqr ＋ brp ＋ cpq ＝ abc

这是一道综合运用几何、三角、代数知识的问题． 在解题过程中．由四点共圆证得 Rt Δ BAE ∽Δ CHE ，从而推出 tanC ＝ c/r ，同理可得 tanA ＝ a/p ， tanB ＝ b/q ，利用斜三角形中内角正切的关系， tanA ＋ tanB ＋ tanC ＝ tanAtanBtanC ，可证得结论成立． 由此可见，数学知识的综合应用对于数学问题的顺利解决起着十分重要的作用，为学生创造性思维能力的发展垫定良好的基础．

五、在数学教学中，培养学生数学思维的发散性．

数学思维的发散性就是指思维的联想能力，它是从某一点出发，运用各类信息进行放射性思维联想，追求一题多解、多题一解、一题多变，多角度、多层次的立体思维．特点是思路宽广，善于多方探求．它是创造性思维和灵感产生不可缺少的一部分．

例如：若 x 1 ,x 2 ,y 1 ,y 2 均为实数，求证：

≤ ＋ （ I ）

由本题的形式结构，学生极容易想到证明不等式的常用方法，进而联想到重要不等式，但运算非常繁琐．如果我们对题目中的数学关系及结构特征作一细致的分析研究，摆脱过去经验的束缚，打破常规，开阔思路，就会发现：⑴与坐标平面上两点间距离公式形式相同；⑵与复数的模及其性质的形式相同，于是得到两种解法：

法一：由联想⑴，不妨设点 A （ x 1 ,y 1 ） ,B( － x 2 , － y 2 ),O （ 0,0 ） ( 如图 )

在Δ ABO 中有 |AO| ＋ |BO| ≥ |AB|

而 |AO|= ， |BO|=

|AB|= ，

∴不等式（ I ）成立．

法二：由联想⑵，设 z 1 =x 1 +y 1 i ， z 2 =x 2 +y 2 i ，

则 |z 1 |= ， |z 2 |= ， |z 1 +z 2 |= ，

又已知对任意复数 z 1 ， z 2 有 |z 1 +z 2 | ≤ |z 1 |+|z 2 | ，

∴不等式（ I ）成立．

这两种证明既简捷，又具有独到之处．如果经常这样训练，对发展学生的创新思维大有裨益．

六、在数学教学中，培养学生数学思维的变异性．

所谓数学思维的变异性，就是打破原有的思维定势和习惯方式，有创造性地进行新的思维．“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村．”在学习数学中，同学们常常因为习惯的思维模式解决不了问题，此时不妨从另一个角度进行思考，最终求得问题的解决．

例如：已知 x ＋ y ＋ z ＝ 1/x ＋ 1/y ＋ 1/z ＝ 1 ，求证： x ， y ， z 中至少有一个等于 1 ．

分析：本题结论不是用式子表示，学生对此难以下手，其实只要将原题变为等价命题： (x － 1)(y － 1)(z － 1) ＝ 0 ，证题就容易了．

证明：∵ 1/x ＋ 1/y ＋ 1/z ＝ 1 ，∴ xy ＋ yz ＋ zx=xyz ，

(x － 1)(y － 1)(z － 1) ＝ xyz － (xy ＋ yz ＋ zx) － 1 ＋ (x ＋ y ＋ z) ＝ 0 ，

故 x ， y ， z 中至少有一个等于 1 ．

变异性思维是创造性思维的精华所在，它的形成一方面需要学生具有敏捷、迅速的思维能力，另一方面还需要学生具备扎实的文化基础，没有坚实的数学基础知识做后盾，思维的求异能力是不可能形成和产生的．

现代化社会的高度发展，需要培养具有创新性科学人才．因此在中学教育中对学生创造性思维能力的培养就显得尤其重要．创造性思维能力的培养必须从多方面、多角度进行考虑．上述六个方面仅仅是创造性思维的一般形式，它的形成，其基点必须首先教育学生具备丰富的数学文化知识，其次还要教育学生不断钻研知识，勇于探索知识，只有这样才有希望获得创造性的思维成果．马克思曾有一句名言：在科学的道路上，没有平坦的大道，只有沿着陡峭的山路不断攀登的人，才有希望到达光辉的顶点．学生创造性思维能力的培养也是如此．

参考文献： [1] 《数学课程标准教师读本》，叶尧城 向鹤梅主编，华中师范大学出版社。
[2] 《数学教育学报》中国联合国教科文组织指导刊物 2003.1
[3] 《中学数学微格教学教程》北京教育学院编   孙连众 主编
[4] 《数学教育学》浙江教育出版社 田万海 主编
[5] 《教育学》吉林人民出版社 余柏民 主编
[6] 《数学教学论》中国地址大学出版社 林六十 主编