一、本课例的研究背景

2006 年 10 月底，本人承担了泉州教师进修学校中学数学教研组组织的市区八年级公开教学研究课的教学任务，内容是课题学习《勾股定理的“无字证明”》。《勾股定理的“无字证明”》在以前的教材中从来没有出现过，是教师第一次遇到的新课题，因此在课前教学设计的前期准备工作中，本人基本上是按教材的内容和提示去构思。经过一番研究之后，发现这一教学设计并不符合我校的校情和学情。于是，我对教材的使用进行了大胆的改革创新，课堂教学收到意想不到的效果，得到同行和专家的好评。经历了这次的由课前设计、课堂实践、课后反思组成的完整教学活动后， 本人深刻地体会到以先进的教学理念来改进教学素材、指导教学方法，不但提高了自己的专业水平，而且培养了学生可持续发展的能力，使学生终身受益，现将自己课前的研究工作与教学实践向同行汇报。

二、教材的地位及作用

本“课题学习”选自华师大版《义务教育课程标准实验教科书 ? 数学》八年级（上）。它是勾股定理的延续，同时又体现了另一种说理证明的方式。勾股定理是人类文化历史长河中最伟大的数学发现之一，它不但历史悠久，而且证明方法层出不穷，至今已近 400 种。由于教材的编写遵循了简约性原则，所以编写《勾股定理》时，教材无法更深入地介绍它发现、发展的历史背景、形式多样的验证方法，以及在人类文化发展史上的贡献。

因此，在学生完成了《勾股定理》这一章的学习之后，设置了一个课题学习《勾股定理的“无字证明”》来延伸、拓展课本知识，让学生更全面地认识勾股定理，了解用图形的移、拼、补来证明代数恒等式，了解拼图与定理证明之间的内在联系，领悟其中的数学思想方法，拓展学生的视野，激发他们的学习兴趣和创新意识。

三、学情、教法、学法分析

在勾股定理这一章的教学中，教师借助方格纸，利用图形与面积之间的关系，通过问题引导学生探索了勾股定理。但由于勾股定理的探索过程是采用由特殊到一般的归纳概括方法，因此缺乏强有力的说理过程 。在课题学习 《勾股定理的“无字证明”》中安排了用拼图的方法验证勾股定理， 试图让学生经历观察、分析、识读、验证等数学再发现的过程，以弥补前面勾股定理验证方式的不足。由于我校学生能力层次偏低，学生独立运用数学思想方法解决问题的能力不高，因此还需要教师的引导、同伴的合作才能顺利地完成剪拼及验证等系列数学活动。 针对八年级学生的知识结构和心理特征，我采用对话引导探究、“操作 + 思考”的教学模式，把整个教学过程划分为亲身观察，自主探究，合作交流，归纳总结等主要过程，再现了知识的发生，发展和形成的过程。充分体现教师是教学活动的组织者、引导者与合作者，学生是学习活动的主体的教育理理念。

四、设计理念

《数学课程标准》指出 “ 数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教学应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”。基于以上理念，教师必须充分相信学生，把学习的主动权交给学生，充分调动学生的学习积极性。为此，本人在本课教学中提出了 “ 引导探索学习，激发学生创新潜能，培养学生的创新意识 ” 的教学改革思路，让学生将课前收集到的信息展示出来，在探索“出入相补法”等拼图方法的学习过程中，培养了学生动手操作和合作交流的能力，同时获得一些研究和解决问题的方法，增强他们数学学习的信心。

五、教学目标

知识目标： 1 、让学生经历查询、收集、分析、整理、识读、验证等探究活动，了解课题学习的主要过程。

           2 、让学生了解常见的勾股定理的无字证明方法。

能力目标： 1 、通过分析几种常见的勾股定理的验证方法及丰富有趣的拼图实践活动，让学生体会“数形结合”和“几何变换”的数学思想方法在解决问题的过程中所起的作用，获得一些研究问题的方法。

           2 、通过尝试验证勾股定理，培养学生的动手实践和创新能力。

情感目标：让学生经历查询资料、自主探究、合作交流、成果展示等过程，获得克服困难的经验，体验成功的喜悦，培养学生良好的学习品质，增进学生数学学习的信心。

六、教学重点及难点

重点： 1 、 分析和欣赏几种常见的验证勾股定理的方法

       2 、 尝试利用拼图方法，验证勾股定理。

难点： 1 、 “ 数形结合 ” 思想方法的理解和应用。

       2 、 通过拼图，理解勾股定理的无字证明的过程。

七、教学准备

1、课前学生通过各种渠道搜集关于勾股定理文化价值及勾股定理验证方法的资料。

2、硬卡纸、剪刀。

3 、教师自制拼图模板。

八、教学过程

（一）、复习与回顾

师： 前面我们已经学习了 勾股定理及其应用，知道了勾股定理有着悠久的历史，极其重要的实际应用价值和文化价值。现在请同学们谈谈你们了解到的勾股定理的文化价值。

生 ： 1972 年美国发射的星际飞船 “ 先锋 10 号 ” 带着证明勾股定理的 “ 出入相补图 ” 飞向太空。

师：这是因为 勾股定理反映了自然界的基本规律， 可以这样说，只要是有文明的宇宙“人”（不仅仅是地球人）都应该认识、了解它， 因此科学家将勾股定理图作为与 “ 外星人 ” 联系的一种重要符号。 除此之外，还有吗？

生 ： 勾股定理还导致无理数的发现，引发第一次数学危机。

师：说得很好。除了上面两位同学说的之外，勾股定理还是数学学科中数与形结合得最完美的一个定理。 还有很多很多，同学们课后可以继续查询、了解、交流。

师：下面我们沿着前辈们的足迹，一起来解读、探索勾股定理的验证方法。

（二）、活动一 （学生作品展示）

师：上 周 老师已经布置课外作业，让你们收集有关 勾股定理的验证方法，现在请同学们上台展示你们的成果。

生 ：我们学习小组向大家介绍 三国时期吴国数学家赵爽的“弦图”（教材 P47 的导图）。如 方法 1 图， △ ADH 、△ ABE 、△ CGD 、△ BCF 是四个一样的直角三角形，按图中的方法拼成一个正方形 ABCD ，中间的也是一个正方形 EFGH ，根据同一面积的不同表达方式，就可以验证 勾股定理，具体计算如下：

由面积计算得：

展开得：

化简得： 方法 1 图

师：说得很好，思路清楚，表达准确。其他小组有没有不同的方法。

生 ：我们小组向大家介绍 美国第二十任总统伽菲尔德的证法，它被称为 “ 总统证法 ” 。

如 方法 2 图 ，它是用两个直角边分别为 a 和 b ，斜边为 c 的直角三角形拼成的图形， A 、 E 、 B 三点在同一直线上，则 S = S = ab ,

方法 2 图 S = c ,S = (a+b)(a+b) ；

又 S + S + S = S ；

即 ab+ ab+ c = (a+b) ；

整理，化简得： c 2 =a 2 +b 2

师：这个学习小组的同学也说得非常棒！语言简捷。下面还有哪个学习小组的方法和前两小组的不一样？

生 ：我们小组向大家介绍 毕达哥拉斯发现勾股定理时的证明。

如方法 3 图，它是用四个直角边分别为 a 和 b ，斜边为 c 的直角三角形拼成的图形，这四个直角三角形的面积都是 ab ，外面的大正方形的面积为

方法 3 图 ，中间的正方形的面积为 c 2 ；于是有 ，

整理，化简得： c 2 =a 2 +b 2

师：非常好！解释得很清楚。还有不同的吗？

生 ：我们小组想要说说欧几里得的证明方法，可是分析研究了很久，还是有些地方看不懂。

师：没关系，这是因为你还没有掌握解读它的所有知识。你们能提出这种方法，已经很棒了，课后你们可以阅读一些课外参考书，继续你们的研究工作。

师：下面老师也把收集到的一些勾股定理的验证方法与同学们交流一下。

（三）、 勾股定理验证方法的分析、欣赏和分类

师：老师共收集六种比较有代表性的验证方法（其中前四种方法和同学们的方法是一样的），分别是：

方法 1 ：三国时期吴国数学家赵爽的“弦图”（教材 P47 的导图）。

方法 2 ： 美国第二十任总统伽菲尔德的 “ 总统证法 ” （教材 P54 习题 14.1 的 1 ）。

方法 3 ： 据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明（ 教材 P51 试一试）。

方法 4 ： 希腊数学家欧几里得纯几何证明。

方法 5 ：在印度、阿拉伯世界和欧洲等地出现的一种拼图证明（ 教材 P58 做一做）。

方法 6 ：三国时期魏国数学家刘徽的“出入相补法”（即“青朱出入图”）。

（ 教师结合展示的图片，介绍方法 5 、方法 6 的验证方法。）

 

 

 

 

方法 4 欧几里得的纯几何证明 方法 5 印度等地出现的一种拼图证明 方法 6 “三国刘徽的出入相补法”

师：请同学们分析上述六种验证方法，并将这六种方法给予适当的分类？比如，欧几里得的验证方法属于纯几何学的证明方法，它应单独成一类。还有五种勾股定理的验证方式应如何将它们进行适当的分类呢？

生 ：老师，我发现方法 1 、 2 、 3 的验证图中都加注了代数式的恒等变形，而方法 5 、 6 的验证图却没有加注这样的式子，但我们只要对图形进行分割、重组就能验证。所以我认为 1 、 2 、 3 应归为一类， 5 、 6 归为另一类。。

师：说得好！这位同学观察的很认真，分类思路正确。同学们请打开课本第 64 页，看看今天所要学习的内容的标题： 《勾股定理的“无字证明”》。所谓的“无字证明”就像方法 5 和方法 6 ， 证明时不需要借助任何数学符号和文字表述，更不需要进行运算，整个验证过程仅靠移动几块图形，就能让隐含在图中的勾股定理清晰地呈现出来。

（四）、“无字证明”的应用联想

师：请同学想一想我们曾在什么时候利用“无字证明”来验证数学中的公式？

生 ：老师，我好像记得在小学时，我们的老师曾用沙子来验证圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一。这种方法应该就是“无字证明”了。

师：很好！还有吗？

生 ：老师，在小学时，也用这种方法验证了三角形

的内角和等于 180 度。（学生剪了一个三角形上台演示讲解）

师：这位同学不仅说得好，演示也非常棒！实际上“无字证明”在数学其他领域的应用非常广泛，同学们课后可以继续探索。

（五）、活动二 （探究“方法五”的拼图方法）

师：下面同学们 和 老师一起来探索方法 5 的拼图方法。

（学生活动）请同学们在硬卡纸上画出一个两直角边分别为 a= 8cm b= 3cm 的直角三角形，再分别以 a 和 b 为边画出两个正方形，把这两个正方形剪下来。（我们不妨将较大的正方形称为正方形 ，另一个则称为正方形 ）。

师：首先思考问题把这两个正方形剪开拼成一个大正方形，这个大正方形的边长应是多长？

（马上，有很多同学举手要求发言）

生 ：就是刚才那个直角三角形的斜边长 c 。

师：对了！现在，继续思考问题：如何在这两个正方形中构造出几条长等于斜边 c 的线段。

① 先请同学们认真观察课本 58 页方法 5 的图及提示，（其中的一个正方形被划分成四个形状与大小都一样的四边形），那现在的问题就是如何把正方形剪成四个形状与大小都一样的四边形？

② 再想一想，这两条划分线必须符合什么条件？怎样画出这两条划分线？

（过一会儿，只有少数几个学生举手）

生 ：可以这样，如下图（到黑板上演示）在正方形 ABCD （正方形 ）的各边上分别截取 AE=BF=CH=DG= 3cm ，连结 EH 、 FG ，则 EH=FG= 斜边 c ，沿 EH 和 FG 剪开，按方法 5 的方法就可以拼成一个大的正方形了。

师：好！好！非常棒！第三小组的这位同学的 方法比 老师所想的方法还要先进，请同学 们按这种方法剪开试一试，能否拼成边长等于 c 的正方形？其他小组的同学还有 不同的方法吗？

生 ：我们第五小组发现刚才第三小组所说的线段 EH 和 FG 好像都经过正方形 的对角线的交点。

师：很好！你们的判断是正确的，请继续探究。

（又了过一会儿，有些同学要求发言）

生 ：老师，我试了好像不行，拼起来后中间的空隙小了点。

生 ：老师，我们按第三小组的方法拼出来的图形也发现中间的正方形太小了。

师：对了，刚才的方法只想到了把正方形分成四个大小与形状都一样的四边形，而 EH=FG 也是正确的，只可惜它俩不等于斜边 c ，同学们想一想， AE 、 BF 、 CH 、 DG 应是多长时，才能使得 EH=FG=c 成立？

（沉默了一会儿）

师：老师给你们提示，添加了辅助线，如下图，作 EM ⊥ CD 于 M ， HN ⊥ AB 于 N ，请同学们再认真想想。

（过一会儿）

生 ：可以了。只要 AE= 。

师：为什么要这样？

生 ：因为△ EHM 和前面画的三角形是一样的，所以 HM=b ，又 DM=AE=CH ，所以 AE= 。

师：好！说得很清楚，如果还有其他的同学还不明白的，课后要再认真想想或与其他同学交流。

（这时，第五小组的代表请求发言。）

生 ：（上台边讲边演示）老师，我们小组的方法与第三小组的方法不一样，同样也可以拼出一个大的正方形，我们是这样做的，先找出正方形 的对角线的交点，利用刻度尺过交点 O 找出一条等于斜边 c 的线段，并且这条线段的两个端点在正方形 的两条对边上，最后过交点作这条线段的垂线和正方形 的另两边相交，沿这两条线把正方形 剪开，结合正方形 就可以拼成一个以 c 为边长的正方形了。

师：非常棒！你们的想法 和 老师最初的想法是一样的，是一种成功的方法。究竟是什么原因呢？具备正方形的有关知识之后你们就会明白其中的道理，希望你们课后继续探究。

（六）、活动三 （尝试“出入相补法”的拼图）

师：现在请各学习小组合作探索方法 6 （也就是出入相补法）的拼图方法。教师给同学们一个提示，在硬卡纸上像这样画两个边长分别是 a= 3cm 和 b= 8cm 的正方形（这两个正方形连在一起 , 同样我们也不妨将较大的正方形 ABCD 称为正方形 ，另一个称为正方形 ）。同学们尝试的这个图形剪开拼成一个大的正方形。

（各学习小组分工合作，有画草画设计剪裁方案，有的在硬卡纸上画正方形，┅）

图 1 图 2

（教师通过课堂巡视，和学生交流讨论，寻找有价值的教学信息， 几分钟后）

师：（提问）第四小组已经有了剪裁方案了，请把你们的方案和其他小组的同学交流一下。

生 ：（到讲台上）我们小组是这样设想的，如图 1 ，连结 BG ，则 BG=c ，作 HG ⊥ BG 交 AD 于 H ，交 BE 于 I ，沿 BG 、 HI 、 GC 剪开。

师：很好！剪开试一试。第二小组也有了剪裁的方案了，你们也介绍一下你们的方案。

生 ：我们小组是这样设计的，如图 2 ，在 BC 上截取 AH=c ，作 FH ⊥ AH ，沿 AH 、 HF 、 GC 剪开。

师：等等，你刚才说作 FH ⊥ AH ，这是什么意思？你能给大家解释清楚吗？

生 ：这个┅，这个┅，我们想连结 HF ，又想让 FH ⊥ AH 。

师：这可能吗？应该是这样的先连结 HF ，再论证或验证 FH ⊥ AH 。希望同学们今后的数学语言要尽可能准确。好了，请把你们的设计变成现实吧。

师：还有其它方案吗？

（第四小组代表要求发言）

生 ：老师，我们刚才的方案好像不行。

师：再想想，还有补救的方法吗？

（过一会儿）

师：同学们都完成了你们的拼图了吗？

生：（齐声道）完成了。

师：你们都采用了什么方法？

生：（齐声道）第二小组的方案。

师：第四小组你们的补救方法想到了吗？

生 ：还没有想到。

师：其他小组还有没有其它的方案？

生：（齐声道）暂时还没想到。

师：你们现在可能一时想不到补救方法或新的方案，课后应继续探究。

（接下来教师分析了第二小组的方案，并用自制模板演示了第二小组的方案）。

师：实际上这种方法早在一千多年的三国时期，魏国数学家刘徽就已经发现了，并取名叫“出入相补法”。假若稍作改动就变成了“青朱出入图”，同学们课后可以继续研究，老师给同学们提示“青朱出入图”是把大的正方形剪开拼成两个小的正方形。

（七）、小结反思，课题拓展

师：同学们今天我们学习的课题是：

生：（齐声道） 勾股定理的“无字证明”。

师：勾股定理的“无字证明”也就是用拼图的方式，直接说明勾股定理的正确性，它无需文字说明，简单明了。“无字证明”在数学及其它学科中也广泛应用。关于勾股定理拼图的验证方法可能还有很多，希望同学们课后发挥你们的聪明才智继续探索，并把你们探索的结果写成数学小论文。

〖几点反思〗

1 、以前我在进行勾股定理的教学时，常常利用勾股定理发现的时间差，“谁比谁早多少年”对学生进行爱国主义教育。然而，历史告诉我们 : 数学是全人类共同的遗产，不同文化背景下的数学思想、数学创造都是根深叶茂的世界数学之树不可分割的一枝。勾股定理的证明层出不穷，至今已近 400 种。如果将这些多元文化的事例引入中小学数学课堂，我们就会发现：“谁比谁早多少年”已经不是那么重要了，重要的是：让我们的学生消除民族中心主义的偏见，学会以更宽阔的视野去认识古代文明的数学成就；同时，通过不同数学思想方法的对比，可以提高学生数学创造性思维能力，并学会欣赏丰富多彩的数学文化。从而以平等、开放的眼光看待本民族与其他民族文化传统之中的数学成果。树立正确的数学观，实现多元文化观点下的数学教育目的，这也是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》所提倡的， “介绍有关的数学背景知识”，“注重数学的文化价值”。

2 、 教学工作是一项创造性的劳动。我们提倡学生要探究性学习，首先教师自己要将教学提升到探究水平，要有对教材进行再创造的意识。本节课我对教材作了大胆的改革创新，在教学活动中，我牢记以学生发展为本，关注学生能力的发展，使学生各方面能力得到发展的同时，也实现教师自身的专业成长。在本课 活动二 （探究“方法五”的拼图方法）的教学过程中，我就受到了不小的冲击，在课前的教学设计中，把一个正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形的这一环节上，我的设计是先找出正方形的中心，再通过中心画出两条互相垂直的直线，但实际教学中，学生却自主探索出了他们的方法，让我受益非浅。

3 、如何利用校本资源使教材内容得到最大限度的利用是我一直在思索的一个问题。可能有许多同行认为本节课应利用多媒体课件来辅助教学，可以增加教学容量，也可以使拼图教学更直观。但我考虑到，我校是一所教学条件比较薄弱，学生素质相对较差的学校，学生的电脑知识较为贫乏，但学生好玩好动，动手能力较强。因此根据我校的特点，我设计了让学生在 “玩”中学习知识，在 “玩”中探索知识，在 “玩”中学会数学方法的教学过程， 迎合 八年级学生“好玩”的 心理。

〖同行及专家点评〗

1 、 了解学生原有的认知水平、考虑学校的教学条件是把握课堂教学目标的基础，是教学内容选材与设计的依据。教师能树立课程资源开发意识，立足校本，对教材进行再开发、再创造，变“教教科书”为“用教科书”。

2 、本课从交流、展示学生课前收集整理的资料入手，让学生在交流中分析、欣赏勾股定理的几种经典验证方法，从中了解了古代灿烂的历史文化。进而对本课提供的方法“无字证明”作进一步的探究。重点分析研究了课本 58 页图 14.2.4 和“ 出入相补图 ”，让学生经历前辈的证明过程。整个教学过程凸显出以下特点：

①、该课题学习的组织工作比较到位，教师能将问题定位在学生的“认知最近发展区”内，让学生“跳一跳”就能摘到“果子”。

②、使学生真正经历查询、收集、整理、解读、验证的过程，获得一些解决问题的思想方法，使知识升华为能力。

③、在探究活动中，突出“做中学”，以迎合学生的心理特征，用激励性语言鼓舞学生去迎接新的挑战。从而把教学活动引向高潮，产生好的教学效果。

④、贯彻双主体的教学方法。通过“问题引导——个别指导——对话生成”与“独立思考——合作探究——交流展示——对话生成”这两条教与学的主线，对新课程下教师的角色及学生新的学习方式的形成作了积极有效的探索。