浅析建模思想解决初中应用题的几种模型

【摘要】：当人们面对一个实际问题时，不是直接就现实材料本身寻找解决问题的办法，而是经过一番必要而且合理的假设和简化，恰当地运用数学语言、方法去近似地刻划实际问题，得到一个 数学结构（数学模型），通过数学上的结构揭示其实际问题中的含义，合理地返回到实际中去，这个过程就称为数学建模 。数学建模思想的教学渗透不仅仅是大学生、研究生的教育问题，在中学里逐步进行有关数学建模思想的渗透更是顺应了当前素质教育和教学改革的需要。本文从解初中应用题教学思路出发，将“建模”思想贯穿于教学实践之中。

【关键词】：“建模”思想  初中应用题  模型

近几年，不仅每年高考都出了应用题，中考也加强了应用题的考察，这些应用题以数学建模为中心，以考察学生应用数学的能力，但学生在应用题中的得分率远底于其他题，原因之一就是学生缺乏数学建模能力和应用数学意识。因此中学数学教师应加强数学建模的教学，提高学生数学建模能力，培养学生应用数学意识和创新意识，本文结合作者教学实践，浅议建模思想解决初中应用题的几种模型。

㈠建立几何图形模型

诸如工程定位、边角余料加工、拱桥计算、皮带传动、修复破残轮片、跑道的设计与计算等应用问题，及部分计数问题解决某些不等关系都涉及一定图形的性质常需建立几何模型，转化为几何问题求解．

例1初三年快毕业了，1班的51个学生，若每两人均握手一次道别，问全班共握手多少次？

本题可以把它建模成“51个点，而且每三点不共线，其中的两点连线有几条”。

例2  如图1，足球赛中，一球员带球沿直线l逼近球门AB，他应在什么地方起脚射门最为有利？

　　分析　这是几何定位问题，根据常识，起脚射门的最佳位置P应该是直线l上对AB张角最大的点，此时进球的可能性最大，问题转化为在直线l上求点P．使∠APB最大．为此，过AB两点作圆与直线l相切，切点P即为所求．当直线l垂直线段AB时，易知P点离球门越近，起脚射门越有利．可见“临门一脚”的功夫理应包括选取起脚射门的最佳位置。

㈡建立不等式(组)模型

在市场经营、生产决策方案和社会生活中，如估计生产数量，核定价格范围，盈亏平衡分析，投资决策等，则可挖掘实际问题所隐含的数量关系，转化为不等式(组)的求解或目标函数在闭区间的最值问题。

为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．

（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；

（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在直角坐标系中画出草图；观察图像，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？

分析：  若销售单价为x元，则每千克降低（70－x）元，日均多售出2（70－x）千克，日均销售量为[60＋2（70－x）]千克，每千克获利为（x－30）元．从而可列出函数关系式．

解：  （1）根据题意，得

（30≤x≤70）．

（2），顶点坐标为（65，1950），二次函数的草图（略）．

经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元．

例6 某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表．

作物品种	每亩地所需职工数	每亩地预计产值
蔬菜		1100元
烟叶		750元
小麦		600元

请你设计一下种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多．

解：设种植蔬菜x亩，烟叶y亩，则小麦有（50－x－y）亩．根据题意，所以y=90－3x．再设预计总产值为w，则w=1100x＋750y＋600（50－x－y）=500x＋150y＋30000．把y=90－3x代入上式，得w=43500＋50x．

∵  y=90－3x≥0，   ∴   0＜x≤30，且x为偶数．

由一次函数的性质可知，当x=30时，y=0，50－x－y=20，w_最大=45000元，此时种蔬菜的人数为15人，种小麦的人数为5人．

   析解：  本题在求函数y=90－3x的最大值时，运用了一次函数的性质“当k＜0时，y随x的增大而减小”，可见基本函数的性质在解应用题时有着十分重要的作用．

㈤建立方程模型

对现实生活中广泛存在的等量关系，如增长率、储蓄利息、浓度配比、工程施工及人员调配、行程等问题，则可列出方程转化为方程求解问题．

例7在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向一条横向且横向与纵向互相垂直)．把耕地分成大小相等的六块作实验田，要使实验地面积为570m2，问道路应为多宽？ (1997年安徽省中考题)

　　简析　如图3(2)．作整体思考，设道路的宽为xm，则问题转化为求方程(20－x)(32－2x)＝570的解，解得x1＝1，x2＝35(不合题意，舍去)。

㈥建立统计模型

对现实生活中的决策，往往都是通过统计来完成的。

例8．某风景区对5个景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变．有关数据如下表所示：

（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平．问风景区是怎样计算的？

（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%，问游客是怎样计算的？

（3）你认为风景区和游客中，哪一个的说法较能反映整体实际？

简析：  风景区采用了简单的求5种门票平均数的方法，回避了各风景区的游览人数，从而隐瞒了其实际收入，具有一定的欺骗性．游客运用的是加权平均数的计算方法，不仅考虑到了5种门票价格，还考虑到了各类门票所对应的游览人数，由此确定风景区的实际收入，较为真实地反映了整体情况．

【参考】

⑴崔炳生《浅议新课程标准下数学教学模式的改变----在数学教学中渗透数学建模思想》

⑵袁银宗《初中数学建模类型浅析》

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