谈如何训练学生的逆向思维能力

数学是一门逻辑性极强的学科，加强对学生的思维训练是改革数学教学，提高质量的根本途径，而逆向思维是思维转换能力的一种重要形式。其特点表现在：善于从不同的立场、不同的角度、不同的侧面去进行探索，当某一思路出现阻碍时，能够迅速地转移到另一种思路上去，从而使问题得到顺利解决。当学生经过努力从正向理解了某个概念、定理、公式、法则后，若能适当引导学生进行逆向思考，往往会跨进新的知识领域。在中学数学课本中的逆运算、否命题、反证法、分析法等都涉及思维的逆向性。因此，在教学中有意识地、有目的地加强对学生逆向思维的训练，有利于培养思维的灵活性、广阔性、深刻性，使学生不受思维习惯的约束，突破旧有思想框架产生新思想、发现新知识、开拓解题思路 。现就如何训练学生的逆向思维能力谈几点看法。

一、学生逆向思维受阻的原因

1、缺乏显而易见的逆向联想。

由于学生在学习过程中，进行较多是正向训练，而忽视了逆向联想，这就造成了知识结构上的缺陷和思维过程中顽固的思维定势。

例：“1，0，－1的立方根分别是____”，学生回答得非常轻松，也非常正确；但对“一个数的立方根是它的本身，则这个数是____”这一题，却只有少数学生才能填写完整。像这些显而易见的逆问题，在教学中常常遇到，学生解答起来却并不顺利。

2、混淆命题证明的因果关系

对于命题证明，学生经常混淆题设与结论的顺序。

例：华师大版数学八年级下P82习题18.3. 4(2) “在△ABC与△A₁B₁C₁中，AB=10厘米，BC=12厘米，AC=15厘米， A₁B₁=150厘米, B₁C₁=180厘米, A₁C₁=225厘米,那么△ABC与△A₁B₁C₁是否相似，请说明理由。”学生的理由是：∵∴∴△ABC∽△A₁B₁C₁。混淆了因果关系。

3、忽视正逆转化的限制条件。

    例：已知，则；但反过来由推出“”就不全面了，遗漏了另一种情况“”。特别是对一些限制条件的反求，学生更是束手无策，如：当<0时，，；但反过来由推出的取值范围时，很多学生回答是：<0，则遗漏了。

4、无法灵活应用运算顺序

   例：华师大版数学九年级上P12习题21.3.3(2)计算：很多学生按运算顺序，括号内先计算而不懂得先去括号。

5、缺乏逆向分析的解题思路。

学生在分析问题时只习惯于从条件到结论，却不会从结论出发去寻求解题思路。

例：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BDAC于D，求证：。

此题应从结论分析，因为结论中有平方，加上题设中的“BDAC”条件联想到要用勾股定理；或把结论中2CD构造成一条线段CE则结论化为可联想到要证明相似。但有此想法的学生很少，完全做正确的学生更少。

二、如何训练学生的逆向思维能力

学生思维发展中所表现的思维方向和水平是不同的，最初只能是单向的，没有逆向思维，以后才逐渐形成思维的可逆性和反复性。那么，在教学中如何训练学生的逆向思维能力呢？

1、在概念教学中，择机提出如何逆用概念，并进行指导与训练

作为概念的数学命题，其逆命题总是存在。因此，学习一个新概念，如果注意从逆向提问，学生不仅对概念辨析得更清楚，理解得更透彻，而且能够培养学生养成双向考虑问题的良好习惯。

2、公式、法则教学中逆向思维的训练.

数学中的公式、法则总是双向的，可很多学生只会从左到右顺用公式、法则，因此在公式、法则教学中，在分析公式、法则的变形这一环节，可提出公式、法则的逆向形式。在运用公式、法则巩固新知识这一环节，可加强公式、法则的逆用指导，使学生明白公式、法则除正用之外，还可逆用，提高学生解题的灵活性。

例：已知：，，求：的值.

分析：该题是将同底数幂除法法则及幂的乘方法则逆用后得到结果。

解：原式.

3.、定理教学中逆向思维的训练.

 在定理教学中，弄清了定理的来龙去脉之后，可引导学生探求其逆命题的真假，若逆命题正确，再强化定理的逆向运用。这样还可使学生理解并掌握数学中的许多重要定理，提高解题能力。

4、通过实际应用强调逆向思维的重要性

例：华师大版数学七年级下P22复习题.16.“一批树苗按下列方法由各班领取：第一班取100棵和余下的，第二班取200棵和余下的，第三班取300棵和余下的，……最后树苗全部被取完，且各班的树苗数相等，求树苗总数和班级数”

正向解法：设树苗总数为x棵，则

逆向解法：设班级数为x班，则最后一班取的树苗数为100x棵，是前一班取100(x-1) 棵后余下的

∴:=:    ∴: 100  =9:1  ∴

通过正、逆比较，使学生明确有些题目用逆向思维来解比较简便，以摆脱正向思维定势的影响。对培养学生的数学思维，特别是培养学生思维的敏捷性，提高学生的数学应用能力具有相当重要的意义

 例：计算

分析：有关分式的加减运算常要先通分后加减，而本题却要把每个分式重新拆成两个分式的和

解： 

=

=

三、逆向思维的训练必须量力而行

实践证明，在教学中，训练学生的逆向思维，不仅能培养思维的灵活性、敏捷性、深刻性和双向性，而且还能克服由单向思维定势造成解题方法的刻板和僵化，以及不善于在新条件下独立发现新方法、新结论等不足之处。

要在数学教学中培养学生逆向思维，首先，必须有扎实而丰富的基础知识和基本思想方法为前提，只有具备大量的知识信息，才能从事物的不同方向、不同联系上去考虑问题；其次，在教学中要充分注意类比、引申、拓广、举反例等多种思维方法的培养，使之形成习惯；再者，提倡变式教学，“模式化+变式”是逆向思维训练的高效率的形式之一；最后，培养学生的逆向思维的能力，必须量力而行，应注意学生的可接受性，因为许多逆向问题对中、下学生来说，考虑起来还是比较困难的，该回避的还是不涉及为好，让这些学生集中精力掌握好基本内容；对学有余力的学生，加强逆向思维的训练，对培养他们的学习兴趣，拓广思路，提高能力都起着十分重要的作用。

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