杨辉三角数字排列的一些性质

福建泉州七中  王雄伟

杨辉三角是我国历史上著名的数学家杨辉首先发现的，是当时我国数学研究成果的一个代表。之所以是“研究性课题”，是因为我们不仅要比较系统的学习有关“杨辉三角”的知识，而且要在学习的过程中，领会到如何去发现有用的数学规律，为学习创造便利，同时也为数学的发展做出贡献。

以下图形为n阶的杨辉三角：

杨辉三角可以用排列式写出：如下图

  于是我们总结以下几个性质，供大家参考：

性质（1）：记第行中从左到右的第个数为，则数列的通项公式为，若上式记为n阶杨辉三角，则共有个数。

性质（2）：第k行各个数的和为，n阶杨辉三角的所有数的和是。

性质（3）：从上面的图形我们可以看出，三角形的两条斜边都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，如，推出一般的公式为。

性质（4）：杨辉三角的第1、3、7、15、……行，即第行（k是正整数）的各个数字都是奇数。

性质（5）：第p行除去两端的数学1以外的所有都能被p整数，则整数p一定为质数（素数）。

性质（6）：如下图：

如：在第3斜列中，前5个数依次为1、3、6、10、15；第4斜列第5个数为35，显然，，事实上，一般的有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第斜列中第k个数。其公式为：

性质（7）：将第n行的所有数按从左到右的顺序合并在一起得到的多位数等于。（注合并的意思：如第0、1、2、3、4行分别为、11、121、1331、14641＝，但第5行应把1，5，10，10，5，1理解为6位数从右到左每1位逢10进1，所以第5行的数应理解为161051这样的6位数，再比如第10行应把1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1理解为11位数从右到左每1位逢10进1，应看作是25937424601。

性质（8）：    如下图：

图中的斜线中，前几行数字的和已经在行末标出，通过观察可以得到著名的斐波那契数列。由斐波那契数列的通项公式：，可得组合数的性质：

；

性质（9）：    我们注意到第1，2，4，8行的各数均为奇数，下一个整行各数均为奇数的是第16行，一般地，第 行的整行均为奇数。

　　性质（10）：我们注意到第8行中有7，21，35三个相邻的数成等差数列．那么还能在杨辉三角中找出在同一行中成等差数列的相邻三个数吗？　

令 ，将组合数公式代入并化简得：

令，去分母并整理得：，

再令（不妨设，则且），

则

于是，

当时，，即得三数成等差数列。

当时，得，因此，，三数成等差数列。

于是得到公式：

　，这里就给出了这个问题的一个通解。

杨辉三角奥秘无穷，只要大家从不同角度运用合情推理及逻辑推理的方法，一定会发现更多的规律，同时大家经常研究其他数学或生活实际问题，创造能力必将大大提高。

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