初一应用题教学应注重“首因效应”

【关键字】: 函数 模型 实际问题

数学上常用变量和函数来刻画各种运动变化，函数是研究客观世界中数量之间相依关系和变化规律的重要数学模型。能够运用函数的性质，解决某些简单的实际问题，培养学生应用函数知识解决实际问题的能力，是中考重点考查内容之一。

利用函数模型解决实际问题的方法步骤是：（1）正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键，转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类。（2）用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解。（3）把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答。在初中阶段主要有以下两类问题。

一、与一次函数有关的实际问题

例1、在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图10所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：

（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是                ，从点燃到燃尽所用的时间分别是             。

（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；

（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么事件段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低        

（1）30厘米，25厘米；2小时，2.5小时；（2）设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为＝＋.由图可知，函数的图象过点（2，0）、（0，30），∴ ，解得

. ∴。设乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为＝＋.由图可知，函数的图象过点（2.5，0）、（0，25），∴ ，解得

. ∴.(3)由题意得,解得.

∴当燃烧1小时的时候,甲、乙两根蜡烛的高度相等.观察图像可知:当0≤＜1时,甲蜡烛比乙蜡烛高；当1＜＜2.5时,甲蜡烛比乙蜡烛低.

点评：⑴利用函数待定系数法，确定一次函数表达式；

⑵通过图象，观察函数图象所传递的信息。（渗透交轨法及不等式）

例2、某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2 090万元，但不超过2 096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：

（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？

（2）该公司如何建房获得利润最大？

（3）根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元（a>0），且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？

解：（1）设有A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建（80－x）套，由题意知2090≤25x＋28（80－x）≤2096  48≤x≤50. x取非负整数，∴ x为48，49，50. ∴有三种建房方案：A型48套，B型32套，A型49套，B型31套；A型50套，B型30套.

（2）设该公司建房获得利润W（万元）.由题意知W = 5x＋6（80－x）= 480－x ∴ 当x = 48时，W最大 = 432（万元）既A型住房48套，B型住房建32套获得利润最大.

(3) 由题意知W = (5＋a) x＋6（80－x）= 480＋(a－1) x . ∴ 当0＜a ＜1时，x = 48，W最大，即A型住房建48套，B型住房建32套 , 当a = 1时，a －1 = 0，三种建房方案获得利润相等, 当a＞1时，x = 50，W最大，即A型住房建50套，B型住房建30套.

点评：⑴  考察用方程、不等式共同确定解，从而决策方案；

⑵列出一次函数解析式，并将一次函数的单调性作为考察重点，在《初中毕业班复习指南》中对一次函数的单调性进行探索时强调理解“函数值随自变量增大而增大（或减小）”与“函数图像从左向右上升（或下降）”着两句话的含义及对应关系；

⑶渗透了分类的思想。

二、与二次函数有关的实际问题

例3、为了解太湖养殖业，太湖边某乡镇政府对部分渔民连续6年网箱养鱼有关情况进行调查，得到了如图1、2的信息：（1）随着科技含量的增加，每个网箱平均产量从第一年的1吨逐步上升到第六年地吨（如图1），（2）为了保护环境，减少太湖的污染，网箱个数从第一年的300个逐步减少到第六年的100个（如图2），请你根据以上信息解答下列问题：

            图1                       图2

（1）求第二年的网箱个数和网箱产鱼总量；

（2）到第六年网箱产鱼的总量比第一年增加了还是减少了？并说明理由；

（3）试建立第X年与该年的网箱养鱼总量（吨）之间的函数关系，并推断大约在哪一年网箱养鱼总产量最高。

解：（1）由图1设年后每个网箱产鱼为吨，则       得        ∴   令得

由图2设年后每个网箱产鱼为吨，则     得    ∴    令  得.

∴第二年网箱产鱼总量为吨

（2）  第一年网箱产鱼总量为吨，第六年网箱产鱼总量为吨，

       ∴第六年网箱产鱼总量比第一年减少了。

（3）

       ∴时，最大，第二年网箱产鱼的总产量最高。

点评：⑴这道题以环保为题材，结合水产养殖，立意新颖，并且由计算所得出的结论说明为了减少污染，保护环境，造福子孙，经济应该作出让步。

⑵既考察了利用待定系数法确定一次函数表达式，又考察列二次函数解析式，

⑶配方后利用二次函数的最值做文章，。根据二次函数的性质，理论上，当时，

  ∴题目问的是第几年，不能回答2.25年，学生又想当然认为峰值出现在第三年，就认为应该进一，而题目问哪一年网箱养鱼总产量最高，应该利用二次函数的性质来解决，使得结论符合题意。

从以上三个例子可以看出，利用函数模型解决实际问题大体可分为三个步骤：（1）阅读理解：数学应用题通常已经过初步加工，并通过语言文字、符号或图形展现在我们面前，要求做题时读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质。（2）数学建模：将应用题的材料陈述转化成数学问题，这就要抽象、归纳其中的数量关系，并恰当地把这种关系用数学表达式表示出来。（3）数学求解：根据所建立数学关系的知识系统，解出结果，从而得到实际问题的解答。

“强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用”——摘自全日制义务教育《数学课程标准》，说的便是初中应用题的教学目标。说来容易做来难，应用题一直以来是一大部份中等学生的头疼根源，它直接影响着八年级“函数及其应用”的学习。

我发现，初一应用题教学过程中，在两处难点上设计好以下两个首因效应极为必要。简单一句话，认识或接触某一事物，给人留下的第一印象称为“首因效应”。

一、方程     生活实例（找等量关系列出方程，重难点！）

二、设元（不知如何设元，直接设元还是间接投元，设哪个量为x）

初一学生的认识水平及逻辑思维还不够成熟，辩证思维还刚开始形成，他们往往只凭某一点的好坏，凭直觉下判断，做推理，得出结论。教师如果一开始没有设计好两个首因效应，势必让学生感觉列方程解应用题是抽象的，是难学的，势必影响到今后的教学质量。

03级的学生有一大部分跟我诉苦说：应用题不好学，学不好，考试老栽在应用题，真头疼。这让我的心情久久不能平静，于是反复反思，反复翻阅教材，反思七年级下册每章的末了一节《实践与探索》这部分的教学。终于我得出了一个全新的教学设计，今年我又再带初一，便用心把此教学设计付诸实践，收效甚大。我因此有些许兴奋，写来与君共勉，还望各师长不吝指点。

首因效应一：找等量关系想说爱你也容易

在列方程解应用题时，难点集中在找到等量关系正确列出方程，这是一个由具体抽象的过程。很多老师会从教材6.3《实践与探索》问题1开篇讲，我认为，要起好首因效应，万不可一下子就开讲应用题例题。根据学生的认识规律，知识由简单到复杂的特征，我是这样设计的：

由抽象具体抽象，

即由方程 　　　　　　      方程解题。

在教材七年级下册P₃ 6.1《从实际问题到方程》的习题2 应是有此设计意图的，只不过一题带过，未能引起广泛注意，这愈发让我感觉研读教材之重要性。

教材习题6.1   2. 根据班级内男、女同学的人数编一道应用题，和同学交流一下．

  由方程 等量关系的句子（1-2课时）

例1.　（1）28＝2x

学生1：哥哥今年28岁，弟弟为x岁，哥哥的年龄是弟弟的2倍.

学生2：司机甲今天开了x公里，司机乙开了28公里，甲的路程是乙的.

（2）0.8x=1500

学生1：一台空调原价是x元，打8折后是1500元.

学生2：小明跑了x米，小刚跑了1500米，小刚跑的路程是小明的0.8倍.

（3）4x=3x-4, 6=8+2x

学生编等量关系的句子或应用题:(略)。

【设计意图及教学效果】

让学生由随意一元一次方程实际生活中有关的等量关系的句子或应用题，此时可适当降低要求，不一定要求编出完整的应用题，只要描述的句子能正确体现一个等量关系即可。

通过练习，在学生心中更好地构建了方程与等量关系的桥梁，随意一个常见的方程，大多数学生都能编出相应句子，而且花样甚多，百花齐放。学生觉得“等量关系”这个词语不再是抽象得捉摸不透，并不可怕了。在紧接的由应用题 方程的教学中，这种设计大大削掉了学生心中畏惧生疏的门槛。

首因效应二：设元（直接设元还是间接设元，设哪个量为未知数x）是你设你不再犹豫

在列方程解实际应用题时，难点二在于设元上，直接设元还是间接设元，设题意中哪个量为x，这是一大部分学生头疼的另一根源。有的老师在分析讲解过程中偏重于对等量关系寻找上，只要等量关系一显现出来，就可以得心应手地设×××为x（单位）！？其间对怎样设哪个未知量为x提及较少，没有侧重交待，甚至有年轻老师忽略抛弃之，找到等量关系便跳奔答案板演。因为我之前就是吃了这样的教训，以前的学生听了许许多多有关从我口中讲出来的题意的分析，等量关系的句子在题目中常常也显而易见，可这设元上部分学生就是望而生畏，难于下笔。

众所周知的步骤是：析设列解验答

我认为“析”最难，但前面的首因效应一将会持续在这里发挥功效，“设”也是难点中的重头戏，但麻烦的事情总会寻得解决的途径，如下我是这样找到了可循之道。

例2（华东师大教材P₁₁例题）

学校团委组织65名新团员为学校建花坛搬砖．女同学每人搬6块，男同学每人搬8块，每人搬了4次，共搬了1800块．问这些新团员中有多少名男同学？

题意分析：

一般而言，题意中有几个未知量，那么就可以有几种设法，通过分析得知

题目可以尝试4种设元方法（其中一种是直接假设）。

（1） 设男同学有x名，依题意列方程：8×4·x+6×4·(65-x)=1800

（2） 设女同学有x名，依题意列方程：8×4·(65-x)+6×4·x=1800

（3） 设男同学共搬砖x块，依题意列方程：+＝65

（4） 设女同学共搬砖x块，依题意列方程：+＝65

【设计意图及教学效果】

既一题多解，拓展锻炼了学生的发散性思维，又让学生在设元的方法上有章有道，让应用题不再是天之骄子们的专利，我们的绝大多数学生都可以享受解出应用题的甘甜。为以后我们的教学开了很好的头。教师可以顺带讲解择优而解的道理。

复杂多变的应用题，这招一样应效，不管是容易还是复杂，不管是一元还是多元的应用题，只要我们做足做够首因效应的教学设计，再陡的山峰，我们都引导学生找到了会当凌绝顶的垫脚石！

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