建立函数模型解决实际问题

【关键字】: 函数 模型 实际问题

数学上常用变量和函数来刻画各种运动变化，函数是研究客观世界中数量之间相依关系和变化规律的重要数学模型。能够运用函数的性质，解决某些简单的实际问题，培养学生应用函数知识解决实际问题的能力，是中考重点考查内容之一。

利用函数模型解决实际问题的方法步骤是：（1）正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键，转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类。（2）用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解。（3）把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答。在初中阶段主要有以下两类问题。

一、与一次函数有关的实际问题

例1、在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图10所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：

（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是                ，从点燃到燃尽所用的时间分别是             。

（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；

（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么事件段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低        

（1）30厘米，25厘米；2小时，2.5小时；（2）设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为＝＋.由图可知，函数的图象过点（2，0）、（0，30），∴ ，解得

. ∴。设乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为＝＋.由图可知，函数的图象过点（2.5，0）、（0，25），∴ ，解得

. ∴.(3)由题意得,解得.

∴当燃烧1小时的时候,甲、乙两根蜡烛的高度相等.观察图像可知:当0≤＜1时,甲蜡烛比乙蜡烛高；当1＜＜2.5时,甲蜡烛比乙蜡烛低.

点评：⑴利用函数待定系数法，确定一次函数表达式；

⑵通过图象，观察函数图象所传递的信息。（渗透交轨法及不等式）

例2、某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2 090万元，但不超过2 096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：

（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？

（2）该公司如何建房获得利润最大？

（3）根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元（a>0），且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？

解：（1）设有A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建（80－x）套，由题意知2090≤25x＋28（80－x）≤2096  48≤x≤50. x取非负整数，∴ x为48，49，50. ∴有三种建房方案：A型48套，B型32套，A型49套，B型31套；A型50套，B型30套.

（2）设该公司建房获得利润W（万元）.由题意知W = 5x＋6（80－x）= 480－x ∴ 当x = 48时，W最大 = 432（万元）既A型住房48套，B型住房建32套获得利润最大.

(3) 由题意知W = (5＋a) x＋6（80－x）= 480＋(a－1) x . ∴ 当0＜a ＜1时，x = 48，W最大，即A型住房建48套，B型住房建32套 , 当a = 1时，a －1 = 0，三种建房方案获得利润相等, 当a＞1时，x = 50，W最大，即A型住房建50套，B型住房建30套.

点评：⑴  考察用方程、不等式共同确定解，从而决策方案；

⑵列出一次函数解析式，并将一次函数的单调性作为考察重点，在《初中毕业班复习指南》中对一次函数的单调性进行探索时强调理解“函数值随自变量增大而增大（或减小）”与“函数图像从左向右上升（或下降）”着两句话的含义及对应关系；

⑶渗透了分类的思想。

二、与二次函数有关的实际问题

例3、为了解太湖养殖业，太湖边某乡镇政府对部分渔民连续6年网箱养鱼有关情况进行调查，得到了如图1、2的信息：（1）随着科技含量的增加，每个网箱平均产量从第一年的1吨逐步上升到第六年地吨（如图1），（2）为了保护环境，减少太湖的污染，网箱个数从第一年的300个逐步减少到第六年的100个（如图2），请你根据以上信息解答下列问题：

            图1                       图2

（1）求第二年的网箱个数和网箱产鱼总量；

（2）到第六年网箱产鱼的总量比第一年增加了还是减少了？并说明理由；

（3）试建立第X年与该年的网箱养鱼总量（吨）之间的函数关系，并推断大约在哪一年网箱养鱼总产量最高。

解：（1）由图1设年后每个网箱产鱼为吨，则       得        ∴   令得

由图2设年后每个网箱产鱼为吨，则     得    ∴    令  得.

∴第二年网箱产鱼总量为吨

（2）  第一年网箱产鱼总量为吨，第六年网箱产鱼总量为吨，

       ∴第六年网箱产鱼总量比第一年减少了。

（3）

       ∴时，最大，第二年网箱产鱼的总产量最高。

点评：⑴这道题以环保为题材，结合水产养殖，立意新颖，并且由计算所得出的结论说明为了减少污染，保护环境，造福子孙，经济应该作出让步。

⑵既考察了利用待定系数法确定一次函数表达式，又考察列二次函数解析式，

⑶配方后利用二次函数的最值做文章，。根据二次函数的性质，理论上，当时，

  ∴题目问的是第几年，不能回答2.25年，学生又想当然认为峰值出现在第三年，就认为应该进一，而题目问哪一年网箱养鱼总产量最高，应该利用二次函数的性质来解决，使得结论符合题意。

从以上三个例子可以看出，利用函数模型解决实际问题大体可分为三个步骤：（1）阅读理解：数学应用题通常已经过初步加工，并通过语言文字、符号或图形展现在我们面前，要求做题时读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质。（2）数学建模：将应用题的材料陈述转化成数学问题，这就要抽象、归纳其中的数量关系，并恰当地把这种关系用数学表达式表示出来。（3）数学求解：根据所建立数学关系的知识系统，解出结果，从而得到实际问题的解答。

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