概率与统计的热点透视与复习策略

概率是研究随机现象统计规律的科学，统计的基本思想是用样本估计总体。这部分内容与人们生活、生产实践关系密切，适于编撰一些立意新、设问巧、易入手、有梯度，且具有一定综合性的试题。新《课标》明确指出“数学可以帮助人们更好 地 探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。”概率与统计正是与倡导创新体系、推进素质教育的课改大形势相吻合。通过这个知识模块来考查学生信息处理能力和运用数学知识解决实际问题的能力已成大势所趋。

   一、  高考命题特点与考题展望

概率、统计是新增内容，它所研究对象和研究问题的方法都较为独特，在高中数学中占有特殊的地位，是高考中独立的内容，不论是思维方法还是解题技巧，与其它章节都有很大的不同，它是进一步学习数理统计等高等数学的基础，综观近年来高考题（新课程卷），大都是以考查基本概念、基本知识和基本运算为主，能力要求主要是考查分析问题解决问题为主。从近六年全国高考数学（新教材）试题来看，主要是考查概率与统计的基本概念、公式及基本技能、方法，以及分析问题和解决问题的能力．试题特点是基础和全面．题目类型有选择题、填空题、解答题，一般是一小（4分--5分）一大（12分—14分），解答题通常是概率问题．试题难度多为低中档．除了一直进行的概率知识内部几种类型的综合考查外，继2002年天津考题出现概率知识与不等式知识综合之后，2004年、2005年上海、湖南、湖北、辽宁、广东等地高考卷中进一步体现了对概率知识与外部知识综合的考查要求。2004年、2005年全国各地高考题中几乎都有概率大题，这说明对概率问题的综合性要求在逐步提高，解答题有与函数、数列等知识交汇的趋势。

二、复习策略：以考纲为依据，以教材为载体

复习时可以从最基本的公式、定理、题型入手，借助典型例题，构建思维模式，造成思维依托和思维的合理走势，要加强数学思想方法的训练。这部分所涉及的数学思想有：分类讨论思想、等价转化思想、整体思想、数形结合思想、概率思想、数学建模思想等。能力考查重点在计算能力、逻辑思维能力、抽象思维能力、分析问题和解决实际问题的能力。近几年高考实际应用能力考查的数学背景重点在排列组合和概率这些知识模块上。

    概率内容出解答题，题型仍会以几种常见类型的事件发生的概率为主。考生解答要规范，不能只有数学数字符号，要有必要的文字表述。

统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，新教材要求学生掌握初步的统计知识，并“体会统计思维与确实性思维的差异”。近几年高考中几乎每年都有一道统计题。对以上内容，我们要根据考纲要求，准确定位，不随意提高或降低要求，加强本专题的训练，对错解要及时订正反思，对思维方式、思想方法进行归纳、整理、灵活应用。

   三、方法归纳、灵活应用

解与概率有关的问题时，通常的思路和方法是，分析实际问题时，通过联想数学背景，区别不同类型，特别是分清是等可能事件（古典概率），还是二项分布。在此基础上，转化实际问题，建立数学模型，使问题得到解决。学习中要注意诸多概念的准确理解是解题的关键。分类讨论的思想方法在解题中起着举足轻重的作用。运用时要把握好分类的标准和原则。解题中要注意问题的逻辑关系，善于运用“正难则反”的策略，利用对立事件的概率公式P(A)=1—P()，可以使问题的解决做到事半功倍。要逐步建立起偶然性与必然性对立统一观点，从思维方式和学习方式上增强随机意识和概率意识。

在求某些稍复杂事件的概率时通常有两种方法：一是将所求事件的概率化为一些彼此互斥事件的和；二是先求出此事件的对立事件（适用于求“至少”表达的事件的概率。这是典型的集合思想方法，把一个复杂事件分解成几个彼此独立的事件时，要做到不重复不遗漏。独立重复试验是同一试验的几次重复，每次试验结果出现的概率不受其它各项试验结果的影响，每次试验有两个结果，成功与失败，但与试验的的次序无关。要弄清互斥事件与对立事件的联系与区别，对概率中的一些公式，要注意运用它们的前提条件，例如：只有对于等可能事件，才能用公式，只有对于互斥事件只有对于相互独立事件

统计部分的学习应突出会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法，从总体抽取样本，会用样本频率分布去估计总体分布。

统计初步建立在概率基础上，高考要求：了解随机抽样和分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样，高考命题时选择相关的中低档题。要注意简单随机抽样的4个特点： = 1 \* GB2 ⑴样本总体个数有限； = 2 \* GB2 ⑵逐个抽取； = 3 \* GB2 ⑶不放回抽样； = 4 \* GB2 ⑷等概率抽样。

三种抽样方法的区别与联系

对总体分布、总体期望和方差的意义要理解，并会用样本进行估计。

四、典例剖析

例1．  (2005天津理第15题)：某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：

则该公司一年后估计可获收益的期望是___________（元）.

解：投资成功的概率是失败的概率是所以所求的数学期望应该是

本题答案应填写：4760.

变式：某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元．设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？

例2（2004重庆文第18题）：设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。（1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中

的概率；（2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率.

解：这里，A₁，A₂，A₃独立，且P（A₁）=0.7，P（A₂）=0.6，P（A₃）=0.5.

             从而，至少有一人命中目标的概率为

       恰有两人命中目标的概率为

             答：至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44

（II）设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验.又已知在每次试验中事件“命中目标”发生的概率为0.7，故所求概率为

      答：他恰好命中两次的概率为0.441.

变式：某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：

   　　　（1）第3次拨号才接通电话；　　（2）拨号不超过3次而接通电话.

例3(2002年新课程卷理第19题)：某单位6个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是0.5(相互独立).（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率;（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3 ?

解：（Ⅰ）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率.即

P=1－P（A₀+A₁+A₂）=1－[P(A₀)+P(A₁)+P(A₂)]=1－()=1－(1+6+15)=

（Ⅱ）至少4人同时上网的概率为:

.至少5人同时上网的概率为:

因此, 至少5人同时上网的概率小于0.3.

思路:如果在1次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生K次的概率为.

例4(2005广东第题)：箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为ｓ：ｔ．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次．以表示取球结束时已取到白球的次数．（Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ）求的数学期望．

解：：(I)ξ的可能取值为：0,1,2,…,n

ξ的分布列为

(II) 的数学希望为

…(1)

…(2)

(1)    －(2)得

例5(2005辽宁)：某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.

   （Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结

         果为A级的概率如表一所示，分别求生产

         出的甲、乙产品为一等品的概率P_甲、P_乙；

   （Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、

         η分别表示一件甲、乙产品的利润，在

        （I）的条件下，求ξ、η的分布列及

Eξ、Eη；

   （Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额

         如表三所示.该工厂有工人40名，可用资.

         金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产

         品的数量，在（II）的条件下，x、y为何

         值时，最大？最大值是多少？

        （解答时须给出图示）

解：分析：本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力

（Ⅰ）解：

（Ⅱ）解：随机变量、的分别列是

（Ⅲ）解：由题设知目标函数为

作出可行域（如图）：

作直线 

将l向右上方平移至l₁位置时，直线经过可行域上

的点M点与原点距离最大，此时               

取最大值. 解方程组     

       得即时，z取最大值，z的最大值为25.2 .

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