谈“数学问题”的提出与解决

泉州七中分校　　陈友俊

问题是数学的心脏，数学的真正组成部分是问题和问题的解，所以数学教学的核心就是培养学生发现问题和解决问题的能力。 认知心理学从信息加工观点出发，将问题解决过程看作是对问题空间的搜索过程。所谓问题空间是问题解决者对一个问题所达到的全部认识状态，它是由问题解决者利用问题所包含的信息和已贮存的信息主动地构成的。“问题提出”即是对问题空间搜索的具体表现形式，同时问题解决后，需要对问题的起始状态和目标状态重新审视，使问题空间发生剧烈的变化，从而使“问题提出”更深入，达到“探索、发现、创新”的目的。对“数学问题”的提出和解决的目的性与操作性，很多书都作了理论上的阐述，下面我将结合实例介绍如何引导学生发现问题、提出问题、解决问题、拓展问题，对数学问题的提出和解决所应遵循的几个原则谈谈我的做法。

一.　最优化原则

最优化原则，即从多种可能的途径中，选择最优的系统方案，使系统处于最优的状态，达到最优的效果。

我在上“正弦函数的图象”这节课时，为使学生理解教材设计中所体现的最优化原则，采取分步走方案向学生提出如下几个问题：

①如何画正弦函数的图象？

②为什么要引进单位圆？

目的是利用单位圆中的正弦线精确得出任意角的正弦值。

③单位圆为什么往左平移？放在其它位置可以么？

因为我们是要先画出X在[0，2π]的图象，为使所画图象不与单位圆重叠而更加美观，同时，若单位圆放在其它位置，则在平移正弦线时较麻烦。

通过以上三个问题的探讨使学生明白了教材中画正弦函数图象的方法是最简练、最优化的方法，最后我又通过多媒体把以上的作图过程用“几何画板4.0”以动画形式播放出来，如图(1)。 

学生在欣赏动画播放的过程中，突然发现所画的图象是在X∈［-π，π］的图象，为什么？这是因为

 上面所构造的∠DCH的默认值为［-π，π］这个范围，若能让∠DCH∈R，则随着∠DCH的变化，动点F所形成的轨迹就是正弦曲线，这说明“几何画板4.0”还有待进一步升级，才能使以上作图过程达到最优化原则，说不定以后你们中的哪一位同学就能开发出来!

最优化原则是使用系统方法的目的和要求。这一原则要求在研究解决问题时，统筹兼顾，互相协调，多中择优，采用时间、空间、程序、主体、客体等方面的峰值佳点，本着“多利相衡取其重，多害相衡取其轻”的精神进行综合优化和系统筛选，运用线性规划、动态规划、决策论、博奕论等有效方法，达到整体优化的目的。又如，统筹法中的网络图、关键路线，技术设计方案的可行性研究，效益经济学、效益管理学中最佳效益的追求等，都要运用整体优化的原则

二.建模性原则

建模性原则，即把数学问题模型化，通过构建与问题相关的模型，如放大或缩小了的实物模型、理论概念模型、数学模型，符号系统模型或其它形式的模型等，通过对所建模型的研究来认识数学问题的本质和规律。最优化原则是系统方法的基本目的，模型化原则是实现最优化原则的手段和途径

问题1. 在一条河的同测有两个村庄，要在河边建一个水站向这两个村庄供水，水站应设置在何处较合理？

分析：把河看成一条直线，两个村庄看成两个点，则上述问题可转化为数学模型：在直线L同侧有两个定点A、B，在L上找一个点P，使P到点A和B的距离之和最小。

作法：作A关于直线L的对称点C，连结AC交直线L于点D，则点C即为所求。如图(2)。

评注：问题1的数学模型中的元素为定直线L、两个定点A、B和直线L上的动点P，若对其中的元素进行变化，则可得：

问题2. E是∠BAC内的一个定点，试在∠BAC的两边分别取点F、G，使△EFG的周长最小。

作法：分别作点E关于AB、AC的对称点P、Q，连结PQ交AB、AC于点F、G，则点F、G即为所求，如图(3)，证明略。

若再把问题2中的∠BAC推广为二面角α–ﺎ–β，则可得新的命题： 

问题3.点P为二面角α–ﺎ–β内的一个定点，试在α、β上分别取点M、N，使△PMN的周长最小。（作法略）

总结：以上从问题1的提出和解决到问题2、3的提出，实质上是从数学模型中的线、角、二面角出发，线、面、空间的逐级递进，思维上则体现了从一维、二维到三维的不断升级，而解决这三个问题的策略则是应用对称变换的思想方法，使学生深刻体会到构建数学模型有助于问题的解决，而变换数学模型又有助于问题的进一步延伸，最终达到透过问题的表象而认知其本质和规律。

三.拓展性原则

拓展性原则是指，对某个问题的分析，挖掘问题中所蕴含的数学思想和数学模型，进行大胆猜想，提出更深层次的问题，从而使原先的问题得到拓展和延伸。

问题4.　已知：在一栋9层高的楼房中要召开一次紧急会议，要求每层派一个员工参加，会议应设在第几层才能使参加会议的员工所走的总路程最短？

这是一个等差数列与二次函数的综合题，最后可转化为二次函数的最小值问题，易求答案为第五层（解法略）。当我们解完该题时，可进一步引导学生观察本题所蕴含的数学思想和数学模型，并提出新的问题。

评析：本题中楼层的高相同，每层派一个员工参加，人数相同，具有均衡性和对称性，而所求的结果恰好也具有对称性，若把9层高的楼房想象成直线上的九个等距离的分点，要确定的楼层想象成直线上的一个动点，则可把问题进一步拓展如下：

问题5. 直线上长为a的线段上有n个等分点，P为直线上的动点，求P 到这n个等分点的距离之和的最小值，并确定P的位置。若把P改为平面上的动点，则P的位置又在哪里？

评析：若P在直线上，则同问题4的解法一样，可求得P恰为线段的中点，若P为平面上的动点，则要使P 到这n个等分点的距离之和最小，显然P要在直线上，故结果相同。若把问题5进一步拓展为圆上的等分点，则可得新的问题：

问题6. 已知圆上有n(n≥3)个等分点，P为圆所在平面上的动点，问是否存在点P，使P 到这n个等分点的距离之和最小，若存在，则P的位置在哪里？

注意：对这个问题，目前我还没有完整的解决方案，只证出当n=3和n=4时，存在点P,且P的位置恰在圆心，但根据以上研究的结果发现P的位置具有对称性，所以我猜想“当n≥3时，点P都存在，且在圆心。”不知此猜想正确否？如何证明？

以上是我在给学生分析问题4的过程中，如何引导学生挖掘其中所蕴含的数学思想(对称思想)，构建数学模型解决问题，又通过拓展模型不断提出新的问题，最后是问题6之结果的猜想，这样通过创设思维场情景有效地激发了学生思维的灵活性和拓展性，由此产生了对新问题的求知、探索、发现的强烈欲望!

四. 完整性原则

完整性原则指的是依据逻辑思维的严谨性和完整性，通过挖掘概念的内涵与外延，提出问题和解决问题的思想方法。以下是我在讲解“周期函数”概念时如何引导学生提出问题、解决问题的过程。

概念1：对于函数F（X），如果存在一个非零常数T，使得当X取定义域内的每一个值时，都有F（X+T）=F(X)，那么函数F（X）就叫做周期函数。首先让学生说出对“周期函数”概念的理解：①.T≠0，②. F（X+T）=F(X)恒成立。当学生很难说出对概念的进一步见解时，我提出如下问题：

问题7. 函数Y=sinX,(0≤X≤4π)是周期函数吗？

大部分学生认为是周期函数，且最小正周期为T=2π。实质上，取X=4π，则X+T=6π不在该函数的定义域内，从而F(X+T)=F(6π)无意义，说明F（X+T）=F(X)不恒成立，所以该函数不是周期函数。

评注：对问题7的提出和解决实质上是依据“周期函数”概念的内涵“F（X+T）=F(X)”所蕴含的条件：当X取定义域内的每一个值时，X+T也要在定义域内。接着让学生回忆“奇(偶)函数”概念中类似的蕴含条件：“F(-X)=-F(X)(奇)和F(-X)=F(X)(偶)”要求X和-X应同时在定义域内，所以在判断函数的奇偶性时，应注意函数的定义域是否关于原点对称。最后，我又问学生概念中的“如果”告诉我们什么？学生经思考后回答并非所有的函数都是周期函数，这就是概念1的外延。接着在讲解“最小正周期”概念时我让学生自己提出问题并加以解决。

概念2. 对于一个周期函数F(X)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做F(X)的最小正周期。学生受上面的启发，从“如果”两字出发，提出如下问题：

问题8. 是不是所有的周期函数都有最小正周期？试举例说明。

经过全班同学分组讨论后，都做出了正确的回答：不是，例如：① 函数Y=sinX,(X≤0)，② 常数函数F(X)=2。（X∈R）

以上，通过对周期函数概念的内涵与外延的挖掘，使学生对概念的完整性有了较为深刻的了解，并学会了如何依据完整性原则提出问题、解决问题。

五. 创新性原则

创新性原则，即通过直觉、美感、猜想、类比、联想、推广和推理去洞察事物的本质，揭示其内在规律，探索新的问题，发现新的东西，对事物的发展趋向具有前瞻性、预见性。例如，物理学家牛顿从苹果落地发现“万有引力定律”；数学家哥德巴赫在研究数论时，发现“6=3+3，24=11+13，28=11+17”，由此提出了著名的哥德巴赫猜想：“所有大于或等于6的偶数都可以表示成二个素数之和”，他本人虽然无法证明，但这个猜想却成为近代数学史上一颗耀眼的明珠，吸引无数的科学家为之奋斗!

古代这些实例充分说明科学研究的实质是科学家发现问题和解决问题的活动，科学研究的起点应当是问题。正如爱因斯坦所指出的“提出一个问题比解决一个问题更为重要，因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的理论，从新的角度去看旧问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步”------摘自爱因斯坦英费尔德：《物理学的进化》第66页。

总之，“问题提出”与“问题解决”之间存在着相互制约、相互依赖的辩证关系，有时甚至“问题提出”更为重要、更具创新成分。它不但包含在问题解决过程中，还强调在问题解决后。这正是基于对“问题解决的目的是探索、发现、创新”的认识。以上介绍了问题的提出和解决所应遵循的五大原则，在具体操作过程中，它要求我们不但要有较高的数学素质，而且要有勇于探索的科学精神。

[关闭窗口]